.               

 تعودشهرة الخيام إلى نبوغه بأعمال الرياضيات والفلك.
ففي أعمال الجبر، اشتغل الخيام بالمعادلات ذات الدرجة الثانية محتذيا حذو أستاذه الخوارزمي . وعالج المعادلات التكعيبية معالجة منهجية منظمة ، واستطاع الحصول على أحد جذورها بطرق هندسية باستخدام القطوع المخروطية.

.
كما كان أول من حاول تصنيف المعادلات حسب درجاتها وحسب الحدود فيها وجعلها محصورة في ثلاثة عشر نوعا، واستخرج الجذور لكل درجة من هذه الدرجات ، فوصل إلى درجة من النضج الرياضي لم يسبقه إليها أحد.

وقد كان اهتمام الخيام عظيما بالمقدار الجبري وهو يشتغل في علم الجبر، فاستطاع فك المقدار الجبري ذي الحدين مرفوعا إلى أس 2، 3، 4، 5، 6، 7،...، ن ، أي عدد صحيح موجب، فكان مبتكرا لنظرية ذات الحدين، بعد أن كان علماء الرياضيات في القرون الوسطى قد وقفوا عند المقدار الجبري ذي الحدين مرفوعا إلى قوة أس اثنين فقط.

ولم يتوقف بحث الخيام عند تطوير علم الجبر فقط باعتباره علما مستقلا، بل اهتم بإدخال الجبر على علم حساب المثلثات . وتمكن من وضع حلول للكثير من المسائل الصعبة في علم حساب المثلثات باستعماله المعادلات الجبرية ذات الدرجة الثالثة والرابعة.

كما امتدت إسهامات الخيام إلى الهندسة، فعكف على دراسة هندسة إقليدس المشروحة والمعلق عليها من قبل علماء الرياضيات المسلمين، فأولاها عناية شديدة، وابتكر برهانا جديدا بخلاف ذلك الذي قدمه ابن الهيثم في برهانه على المصادرة الخامسة من مصادرات إقليدس.
وكان الخيام شغوفا بأعمال الهندسة حتى إنه إذا سئل فيها عن مسألة طول في شرحها.

يروى أنه دخل على الخيام ذات يوم الإمام الغزالي، فسأله عن تعيين جزء من أجزاء الفلك للنقطة دون غيرها مع كونه متناسب الأجزاء، فطول الخيام وابتدأ من أن الحركة من مقولة كذا وضن بالخوض في محل النزاع ، حتى إذا أذن الظهر، فقال الغزالي: جاء الحق وزهق الباطل وقام.
 

للمزيد من المعلومات حول حلول المعادلات التكعيبة:

عرض محوسب عن انجازات عمر الخيام بالرياضيات: